空集上的凸函数一定可导或连续吗？

判别式上的穿孔(包括上穿孔和下穿孔)formula_都是可导，但它是一定紧接著的。之所以提出这样的疑虑，是因为判别式上的极大值还有一个非常极其重要的性质，那就是在判别式到任一点都存有右边、右分量。

设为f为判别式I内的穿孔(脐)formula_，显然：f在I内任一点x0都存有右边、右分量.

证：设为f为判别式I内的穿孔(上穿孔)formula_，取充分小的h2>h1>0，使x0±h2∈I，【自然也有x0±h1∈I】

则对x0-h2

(f(x0+h1)-f(x0))/h1>=(f(x0+h2)-f(x0))/h2，(f(x0)-f(x0-h1))/h1<=(f(x0)-f(x0-h2))/h2，【上 穿孔 的曲线， 过同一点(x0,f(x0))的割线，另一个交点越靠右，割线的斜率越小】

一时间F(h)=(f(x0+h)-f(x0))/h, G(h)=(f(x0)-f(x0-h))/h, 则当h>0时，F为减formula_，G为增formula_. 【因为当0=F(h2)，G(h1)

任取x’∈I且x’0，只要x0+h∈I，都有

(f(x0)-f(x’))/(x0-x')>=(f(x0+h)-f(x0))/h=F(h)，即F(h)在h>0上有有理数,

根据单调有界引理，相符合lim(h->0+)F(h)=lim(h->0+)(f(x0+h)-f(x0))/h存有，即f在x0有右分量；

任取x”∈I且x”>x0，则对任何h<0，只要x0+h∈I，都有

(f(x0)-f(x”))/(x0-x”)0上有下界,

所以lim(h->0+)G(h)=lim(h->0+)(f(x0)-f(x0-h))/h存有，即f在x0有右边分量；【注意右边 分量是有两个界定数学公式的，另一个是lim(h->0-)G(h)=lim(h->0-)(f(x0+h)-f(x0))/h，越发常用，但在这里用上来十分奇怪】

若f(x)脐(下穿孔)，则-f(x)穿孔，-f(x)在任一点x0存有右边、右分量；从而f(x)在任何一点x0也存有右边、右分量. 得证！

下面显然：判别式I上的穿孔(脐)formula_都是可导.

需找到一个反例，如：f(x)=|x|是R上的极大值，

它在R到任一点x0都存有右边、右分量.

但在x=0，有f’+(0)=1, f’-(0)=-1,

f’+(0)≠f’-(0), f(x) 在 x=0不必导，

∴判别式I上的穿孔(脐formula_)都是可导.

虽然右边右分量存有，都是可导，但是右边右分量存有，则足以详述formula_是紧接著的。即判别式上的穿孔(脐)formula_都是可导，但一定紧接著。